Geimpfte auf der Intensivstation

In letzter Zeit haben sich viele Leute gewundert, dass – trotz immer steigender Impfquote – ein hoher Anteil der auf den Intensivstationen mit Corona infizierten Patienten vollständig immunisiert waren. Die Tatsache wurde sogar dazu verwendet um zu argumentieren, die Impfung würde nicht wirken.

Gleichzeitig wurde von andere Seite aus der „100% Fall“ aufgeführt: seien 100% der Bevölkerung geimpft, wären ja nur noch Geimpfte auf der Intensivstation. Während das natürlich nicht falsch ist, hilft es nicht wirklich, das Verhalten zu verstehen.

Ich will hier einen Einblick geben in die Abhängigkeit des Anteils Geimpfter, z.B. an den Infizierten, von Impfquote und Impfeffektivität. Im Folgenden Modell kann man verschiedene Szenarien darstellen.

Man sieht, dass bei hohen Impfeffektivitäten (ca. 85%) ein starker Anstieg der betroffenen Geimpften gerade bei steigender Impfquote zu verzeichnen ist. Die hohe Belegung durch Geimpfte stammt in diesem fall aber nur von ihrem hohen Anteil der Gesamtbevölkerung, nicht von einer schlechten Wirkung des Impfstoffs. Trotz hohen Anteils Geimpfter würde ein Ungeimpfter mit 7-mal so hoher Wahrscheinlichkeit auf der Intensivstation landen wie ein Geimpfter.

Wählt man hingegen eine niedrige Impfeffektivität (weniger als 20%), so würde bereits bei niedrigen Impfquoten beachtliche Belegung durch Geimpfte zu verzeichnen sein. Auch würde der Anteil Geimpfter an den Betroffenen (z.B. auf der Intensivstation) ungefähr der Impfquote entsprechen.

Spannend ist auch der Fall einer wirkungslosen Impfung, Effektivität = 0%. Hier entspricht der Anteil der Geimpften an Infektionen oder ITS-Belegung genau der Impfquote, und nie höher. In der Tat würde ein Anteil Geimpfter größer als die Impfquote auf eine negative Impfquote deuten, d.h. die Impfung fördere eine Infektion oder einen schweren Verlauf.

Herleitung

Die Anzahl Geimpfter auf der Intensivstation können wir berechnen mit

    \[ B_{ig} = B p_g p_{ig} \,. \]

Dabei ist B die Größe der Gesamtbevölkerung, p_g die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person geimpft ist, und p_{ig} die Wahrscheinlichkeit, dass eine geimpfte Person auf der Intensivstation ist.

Gleichermaßen können wir die Anzahl Ungeimpfter auf der Intensivstation berechnen mit

    \[ B_{iu} = B p_u p_{iu} \,. \]

Das Verhältnis R_g der Geimpften auf der Intensivstation können wir dann berechnen mit

    \[ R_g = \frac{B_{ig}}{B_{ig} + B_{iu}} \,. \]

Setzen wir die Werte von oben ein, erhalten wir

    \[ R_g = \frac{B p_g p_{ig}}{B p_g p_{ig} + B p_u p_{iu}} \,. \]

Die Bevölkerungsgröße B kürzt sich raus, und wir erkennen, dass p_g genau der Impfquote Q entspricht. Gleichermaßen ist p_u = 1 - Q. Nun können wir Nenner und Zähler durch p_{iu} teilen:

    \[ R_g = \frac{Q p_{ig}/p_{iu}}{Q p_{ig}/p_{iu}  + (1-Q)} \,. \]

Die Impfeffektivität \eta in Prozent gibt an, wie gut ein Geimpfter vor einer Einweisung in die Intensivstation geschützt ist, verglichen mit einem Ungeimpften, welcher 0% entspricht. Es ergibt sich daraus

    \[ p_{ig} / p_{iu} = (1 - \eta) \,. \]

Eingesetzt erhalten wir

    \[ R_g = \frac{Q (1-\eta)}{Q  (1-\eta)   + (1-Q)} \,. \]

Vereinfacht ergibt das Modell

    \[ R_g = \frac {1 - \eta}{1/Q - \eta} \,. \]

Im Grenzfall Q \rightarrow 0 geht R_g \rightarrow 0. Für Q \rightarrow 1 geht R_g \rightarrow 1, unabhängig von \eta.